Aleksander Szuwałow to dość anonimowy reprezentant Rosji w skokach narciarskich. Nie zapisał się w historii tego sportu nadzwyczajnymi wynikami, a w zawodach najwyższej rangi w zasadzie nie występuje.
Poza granicami Rosji zadebiutował w 2010 roku w wieku niespełna 18 lat. Były to zawody rangi FIS Cup na jedynej czynnej skoczni na Słowacji - w Szczyrbskim Jeziorze. Już w drugim starcie zdobył punkty uprawniające go do startu w Pucharze Kontynentalnym.
Kolejny raz na europejskich skoczniach pojawił się dopiero 1,5 roku później w Predazzo, gdzie niespodziewanie dwukrotnie uplasował się w ścisłej czołówce. Były to jego najlepsze jak dotąd starty w karierze. W lutym 2012 roku wziął udział w swoich jedynych Mistrzostwach Świata Juniorów. W tureckim Erzurum był 37. indywidualnie i 8. drużynowo.
Na początku 2013 roku zadebiutował w PK. Punkty zdobył jednak dopiero w zawodach kończących sezon 2012/2013 - w dobrze znanym mu Niżnym Tagile. Na obiekcie w Rosji zajął 14. miejsce, co do dziś jest jego najlepszym rezultatem. Dzięki tym punktom znalazł się w grupie narodowej podczas Letniej Grand Prix w tej samej miejscowości. W konkursie głównym zajął jednak odległą lokatę w piątej dziesiątce.
Sezon 2013/2014 spędził w PK, a starty rozpoczął od Zimowej Uniwersjady rozgrywanej w Trydencie. Na skoczni normalnej Szuwałow był 24., a na skoczni dużej został sklasyfikowany trzy "oczka" niżej. W ciągu całego sezonu punktował tylko dwukrotnie.
